正五角形の石ころを「風車の羽」で考える

ena高幡不動の柿澤です。小4EXEでは、石ころをすきまなく並べて正五角形の形をつくる問題を扱いました。

一番外側の1辺に7個の石ころを並べたとき、外側には何個あるのか、全部で何個あるのかを考える問題です。

この問題で大切なのは、いきなり全部を数えようとするのではなく、図の中にある「同じ形のまとまり」や「増え方の規則」を見つけることです。今回は、授業で扱いやすいように、手作り風車の羽のように5つに分けて考えました。

小4では、まず「図で分ける」

一番外側だけに注目すると、1辺には7個の石ころが並んでいます。ただし、角の石ころは隣の辺とも重なるため、そのまま「7個が5辺」と考えると重複してしまいます。

そこで、角をのぞいた1辺分を「風車の羽」1枚と見ると、1つの羽は 7−1＝6個 になります。正五角形なので、同じ羽が5つあります。したがって、一番外側のひとまわりは、

6×5＝30個

となります。

全部の数は、「中心から外へ囲む」と整理しやすい

次に、全部で何個あるかを考えます。ここでも、いきなり全部を数えるのではなく、中心の1個から外へ向かって、1段ずつ囲んでいくように見ると整理しやすくなります。

中心の1個をのぞくと、外側へ1段広がるごとに、風車の羽が1つずつ長くなっていきます。増える数は、

5、10、15、20、25、30

と考えられます。よって、全部の数は、

1＋(1＋2＋3＋4＋5＋6)×5
＝1＋21×5
＝106個

となります。

小5になると、「図で見えた規則」をことばや式でも表せる

小5になると、同じ問題でも少し見方が広がります。小4では図で分けたり、囲んだりして考えていたものを、小5では「5ずつ増える数の並び」としてとらえることもできます。

たとえば、外側へ増えていく数は、

5、10、15、20、25、30

という並びです。これは、同じ差で増えていく数の並びとして見ることができます。

ここで「初項」「公差」「項数」「等差数列」ということばも扱います。ただし、これは都立中の適性検査のような思考力型の問題を、公式だけで処理するための学習ではありません。

大切なのは、図で見つけた規則を、自分のことばで説明したり、式で表したりできるようにすることです。いろいろな分野で使える「概念形成」の練習として、あえてことばを学び、使っています。6番目の数は、

5＋5×(6−1)＝30

6こ分の合計は、

(5＋30)×6×1/2＝105

最後に中心の1個を足して、

105＋1＝106個

となります。

同じ問題でも、学年によって学び方が変わる

小4では、まず図を見て、分ける・囲むという方法で考えます。小5になると、図で見えた規則を、ことばや式で表す練習につながっていきます。

同じ問題でも、学年が上がるにつれて、ただ答えを出すだけでなく、「なぜそうなるのか」を説明する力や、見つけた規則を別の形で表す力が少しずつ広がっていきます。

今回の「風車の羽」で考える方法も、図形の問題を解くためだけのものではありません。見えにくい規則を、見える形に整理するための大切な考え方です。

校舎情報（ena高幡不動）