ena江古田の渡邉です。

今回は番外編です。

とある東大の入試問題で、

中３でも理解できる面白い解法を最近知りました。

問題はこちら↓

 

問　円周率 π が3.05より大きいことを証明せよ。

 

そもそも円周率とは何なのか。

小学生に聞くと、

「3.14！」と返ってくることが多いです。

マニアックな生徒になると、

「3.1415926535・・・・」と、お経を唱え始めます。

ちゃんと理解している生徒は、

「直径に対する円周の長さの比です」

と答えてくれます（こういう生徒が非常に少ない！）。

つまり、円周の長さは直径の長さの約3.14倍だ、ということですね。

円周“率”ですから、割合なわけです。

要するに先ほどの問題は、

「円周の長さが直径の3.05倍よりも大きい」

ことを言えれば勝ちです。

ちなみに、これが3.05ではなく3だったら、

小学生の算数でも解けます（enaの教科書にも載っています）。

 

では、驚きの解法を紹介します。

 

まず、半径17の円（！？）を描きます。

円周上にA、Bを、OA⊥OBとなるように、

またOAとOBが半径となるように定め（Oは中心）、

さらに、1辺の長さが12の正方形ODCEを図のように描きます。

 

OA＝17, OD＝12だから、AD＝5です。

またDC＝OD＝12だから、

三平方の定理を使えば、AC＝13となります。

ちなみに３辺の比が整数になる直角三角形のうち、

「3：4：5」と「5：12：13」と「7：24：25」は、

覚えておくと何かと便利です。

さて、△ADCと△BECは合同だから、

BC＝13となります。

ここで、弧ABの長さは17×2×π×1/4です。

弧ABは、AC＋BCの外側にあるので、

弧AB ＞ AC＋BC だから、

17×2×π×1/4 ＞ 26（＝AC＋BC）

となります。

この式を整理すると、

以下のようになります。

17×2×π×1/4 ＞ 26

8.5×π ＞ 26

π ＞ 26÷8.5＝3.0588・・・

よって、円周率πの値が3.05よりも大きいことが言えました。

中学数学の可能性を感じる解法ですね。

 

こんな風に、中学数学は大きな可能性を秘めていて、

実はとても面白い世界が広がっています。

数学で悩んでいる生徒や、

数学を更に伸ばしたい生徒は、

この冬からena江古田にお越しください。

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